2.2 典型时间离散混沌系统_混沌保密通信理论及其在电视制导系统中的应用-QQ阅读科幻男生网

书名：混沌保密通信理论及其在电视制导系统中的应用
作者名：潘勃
本章字数：1771字
更新时间：2025-02-22 02:33:30

2.2　典型时间离散混沌系统

在混沌保密通信中，选用混沌伪随机序列充当加密序列和扩频码，这些序列是由处于混沌态的时间离散非线性动态系统产生的，这些系统有的是从物理学和生态学等领域提炼出来的，有的则来源于某些非线性采样数据控制系统，有的则只有纯粹数学意义而与实际物理系统没有直接关系。不管它们的形式如何，都有许多共性，如类噪声、初始值敏感性、遍历性等基本特性。本书研究的混沌保密通信领域中涉及多种典型的混沌系统[81, 96-99]，下面将分别对它们进行介绍。

2.2.1　一维混沌映射

1. Tent映射

Tent是一类最为简单和广泛研究的动力学模型，Tent这一名称来源于其迭代轨迹的形状，标准Tent映射[81]的方程为

其映射的迭代轨迹如图2.1所示。Tent映射有一种更为常用的变形表达式，该变形表达式通过引入参数a，得到所谓的斜帐篷映射，此时映射方程变换为

图2.1　Tent映射的迭代轨迹

参数a决定了图2.1中迭代轨迹的顶点位置，当a=0.5时顶点位于正中间，式（2.11）退化为标准Tent映射式（2.10）。如果将Tent映射的状态空间重新划分为几个子区间，就可以得到一类分段线性映射（Piecewise Linear Chaotic Map，PWLC），其映射方程为

当d=0.25时，其迭代轨迹图形如图2.2所示。

图2.2　分段线性映射迭代轨迹

2. Logistic映射

Logistic映射（虫口映射）是由生物学家R. May于1976年提出来的[83]，是抛物线映射的特殊形式，它有两种标准写法，即

或者

下文如无特殊说明，所指的Logistic映射都是基于第一种写法的。第一种写法的Logistic映射系统是由倍分岔道路到达混沌态的系统，当3.5699≤…≤μ≤4时，系统呈现典型的混沌态，图2.3为当初值x0=0.5时第一种写法Logistic映射的分岔图，描述了Logistic映射由倍周期分岔到混沌的过程。第二种写法的Logistic映射系统在1.4≤…≤μ≤2时，系统呈现典型的混沌态，图2.4为当初值x0=0.5时第二种写法Logistic映射的分岔图。

图2.3　第一种写法Logistic映射的分岔图

图2.4　第二种写法Logistic映射的分岔图

图2.5为与图2.4对应的Logistic映射的功率谱，在频域上Logistic系统的信号频谱分布类似宽带白噪声，频谱图上没有明显的尖峰。图2.6为与图2.4对应的Lyapunov指数图，Lyapunov指数刻画了在局部范围内轨道间的分离程度，是系统具有混沌特性的判决标准，由图2.6可见大约在参数μ=3.56995处，系统Lyapunov指数大于零，系统处于混沌状态。虽然Logistic是标准的一维区间映射，却可以产生如此复杂的混沌行为，所以很多文献中常用该系统生成混沌序列。

图2.5　Logistic映射的功率谱

图2.6　Logistic映射的Lyapunov指数图

3. Chebychev映射

k阶Chebychev映射方程为

当k>2时，Chebychev映射是混沌和遍历的，而且具有正交性，这时不同的初始值无论多么接近，多次迭代出来的序列都互不相关。k阶Chebychev映射与Logistic映射具有相同的概率密函数，即

由Chebychev映射产生的序列具有下列特性。

序列的均值为0，即。

序列的自相关函数：，图2.7给出了k>2时Chebychev映射的Lyapunov指数；图2.8给出了初值为0.5、k=63时，Chebychev映射的迭代轨迹。

图2.7　Chebychev映射的Lyapunov指数

图2.8　Chebychev映射的迭代轨迹

2.2.2　二维混沌映射

除2.2.1节描述的一维混沌映射外，目前应用较多的有二维Anorld变换、Baker映射、Henon映射等，下面简单介绍Henon映射和在图像保密通信领域较为常用的Baker映射。其中，二维Anorld变换将在后续章节中进行详细叙述，此处不再赘述。

1. Henon映射

天文学家Henon从球状星云团及Lornez吸引子的研究中得到启发，在1967年提出了二维Henon映射系统，其迭代方程为

当初值x0=0.3、y0=0.5，x0=1.2、y0=0.3时，绘制Henon映射的迭代轨迹，如图2.9所示。它是一个具有两个参数的平面映射族，只有一个非线性项，因此可以认为Henon映射是在高维情况下最简单的非线性映射。当a=1.4、b=0.3时，系统的两个不动点分别为A(0.631, 0.631)、B(-1.131, 1.131)，即Henon映射的奇异吸引子。

图2.9　Henon映射的迭代轨迹

2. Baker映射

Baker映射的表达式Bg∶I→I可以表示为

式中，常数β=1-α，且λβ+λa≤1，当满足λβ+λα=1时，此时映射是一个保面积映射，即不存在压缩和拉伸。该映射的两个Lyapunov指数分别是：λ1=-αlnα-βlnβ>0，λ2=-αlnλα-βlnλβ<0。该映射先在水平方向上对数据进行分割，然后对数据进行拉伸，再将结果顺序排列在单位面积内。