§4-2　薄壁圆筒的扭转

在研究实心圆轴的扭转之前，先研究一个比较简单的扭转问题，即薄壁圆筒的扭转。

一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形

取一左端固定的薄壁圆筒，在其表面等间距地画出圆周线与纵向线，形成许多大小相同的矩形网格[图4-5（a）]。然后在右端施加外力偶矩Me[图4-5（b）]，圆筒产生扭转变形。这时可观察到：圆筒表面上的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度γ。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

若以相距为dx的两个横截面和两个径向纵截面从圆筒中截取一个微小矩形单元体[如图4-5（d）中的虚线所示]，则从上述现象可知：由于相邻截面的间距dx不变，故截面上无正应力，只是相邻横截面ab和cd产生相对平行错动，矩形变成平行四边形[如图4-5（d）中实线所示]，而且，沿圆周方向所有的微小矩形的变形均相同。这种由于错动而倾斜的角度改变量γ即为前面所述的切应变。

矩形发生切应变，说明矩形的侧面上必有切应力τ作用。由于所有沿圆周的微小矩形的切应变都等于纵向线的倾斜角γ，可见每个矩形必受到相同的切应力τ。又因筒壁很薄，可以认为切应力沿壁厚方向作均匀分布[图4-5（c）]。综上所述，可知：圆筒扭转时，其横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力τ，它们沿周向大小不变，其方向与该截面上的扭矩MT同向[图4-5（e）]。

设薄壁圆筒的平均半径为r，壁厚为t，今在横截面上取一微面积dA=trdθ，则作用在其上的微内力为τdA[图4-5（e）]，它对x轴的微内力矩为τ·dA·r。由静力学可知，在整个截面上所有这些微力矩之和等于该截面上的扭矩MT，即

由此，可求得薄壁圆筒受扭时横截面上切应力的计算公式为：

二、切应力互等定理

现进一步研究图4-5（d）所示微小矩形体的受力情况。设其边长各为dx、dy和t，如图4-6所示。如前所述，把这种微小矩形体称为单元体。

由前面的分析可知，在单元体的左、右两侧上只有切应力τ。根据单元体满足平衡条件∑Fy=0可知，在这左、右两侧面上的切应力必须相等，但指向相反。这两个面上的剪力（τ·tdy）将组成一个力偶，其力偶矩为（τ·tdy）·dx。由于单元体处于平衡状态，因此，在单元体的顶面和底面，也必然存在切应力τ′，并组成另一个力偶，其矩为（τ′·tdx）·dy，以与上述的力偶矩相互平衡。由平衡条件得

（τ·tdy）·dx=（τ′·tdx）·dy

得　　　　　τ=τ′　　　（4-4）

上式表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。这个规律称为切应力互等定理。它在构件的应力分析中是一个十分重要的概念。

三、剪切虎克定律

通过低碳钢薄壁圆筒扭转试验，可以得出材料在纯剪切下应力与应变之间的关系，如图4-7所示。当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时，切应力和切应变成线性关系，即

τ=Gγ　　　（4-5）

此关系式称为剪切虎克定律。式中比例常数G称为剪切弹性模量。其量纲与切应力相同，常用的单位为GPa。其值随材料而异，由试验确定。表2-2给出了几种常用材料的G。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。